Blog creado por: María Amparo González de la Aleja Cabana, David Gutiérrez Requena, David Domínguez Rodríguez, Luis de la Fuente Gallego y David Ángel Arroyo Romeral, cinco alumnos de la Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Aeronáutica de la clase de Aeronaves I para la asignatura de Expresión Gráfica.
Se establece una inversión de centro O y puntos inversos A y A´ y determino con esto el inverso de P y P´. El problema queda reducido a trazar circunferrencias tangentes a r y que pasen por P y P´. Todas las rectas que pasen por P y P´van a tener su eje radical en la recta que une los puntos. Todas las rectas tangentes a r van atener su eje radical en la misma recta. Por lo tanto
el centro radical de todas las circunferencias que pasan por P y P´y son tangentes a r estarán en el punto intersección de los ejes radicales determinados anteriormente. Conocida la propiedad del centro radical que es un punto que equidista de los puntos de tangencia de las circunferencias, obtendremos los puntos de tangencia sobre una circunferencia auxiliar cualquiera que trasladaremos a la recta y a la circunferencia. Con estos puntos podremos hallar fácilmente los centros de la circunferencia buscados.
Se establece como centro de inversión uno de los puntos de intersección de las dos circunferencias, así el centro de invesión transforma cada circunferencia en su recta inversa, considerando el otro punto de intersección A para establecer la inversión (las 2 nuevas rectas tendrán que pasar por el punto A´, inverso de A, y ser perpendiculares a la recta unión del centro de inversión y el centro de las circunferencias) . Así determino c´ y g´, rectas inversas de las circunferencias g y c respectivamente. El problema se reduce a trazar las cicunferencias tangentes a dos rectas que pasan por P, y deshacer posteriormente la inversión (uniendo cada punto de tangencia de la inversión con el centro de inversión localizándolos así en la circunferencia, quedando solucionado el problema con allar el centro de las circunferencias solución).
Hoy se nos plantea un problema: dos hijos heredan de sus padres un terreno, el cual tiene la forma indicada en la figura 1. Sólo hay acceso desde el lado AB, y la división deciden que sea con un lado paralelo a AC.
Figura 1. ( Extraída de http://www.educared.net )
La resolución es la siguiente:
Como partimos del área, la razón de la homotecia entre segmentos será la raíz cuadrada de la razón entre las áreas. Así, la homotecia será la inversa de raíz de dos. Para ello, dibujaremos un triángulo rectángulo cuyos catetos tienen como longitud la unidad. La hipotenusa será la raíz buscada.
Considerando el centro de homotecia como el punto B, trazamos una recta cualquiera que pase por O y situamos sobre ella los puntos X y X'. La distancia OX' será de 1cm y OX raíz de dos.
De esta forma, queda establecida la homotecia.
Figura 2. ( Extraída de http://www.educared.net )
Para hallar C, trazamos en primer lugar la recta XC. A través de una paralela a ésta que pase por X', definimos el punto C'. Por homotecia, la paralela a AC, que pase por C' será la línea que divida al triángulo en dos partes de igual área.
Figura 3. ( Extraída de http://www.educared.net )
Figura 4. Solución del problema. ( Extraída de http://www.educared.net )
Esta es una de las aplicaciones de homotecia, una de las herramientas explicadas en clase que sirve como solución a muchas de las incógnitas que se nos presentan.
Alrededor del año 284 a.C nació, en Cirene, Eratóstenes primer científico de la historia de la Humanidad en medir con bastante precisión, la circunferencia de nuestro planeta.
Eratóstenes midió la circunferencia terrestre por primera vez con una gran exactitud, en una época en la que muy poca gente pensaba que el mundo no era plano como una mesa.
Pero, ¿cómo lo hizo?. ¿En qué se basó para hacer la medida del radio de la esfera terrestre.
Pues, pensó, sencillamente, que "dos estacas clavadas verticalmente en el suelo, a una distancia de varios kilómetros, sobre un mismo meridiano, darían sombras distintas a una misma hora en virtud de la curvatura de la superficie del planeta".
Los ángulos que forman los rayos de sol con la dirección de la estaca son:
Siendo s y s’ la sombra de cada estaca sobre la línea meridiana en cada lugar. La longitud de la estaca es d en ambos casos.
Si observamos ahora la figura 2 y nos fijamos en el triángulo que se forma, con ángulos a, a1 y 180-a2, donde a es el ángulo del arco de meridiano comprendido entre las posiciones que ocupan ambas estacas, y a1 y a2 son los ángulos que forman los rayos solares con la dirección de las estacas, vemos que, al sumar 180º los tres ángulos del triángulo es:
a1 + 180 - a2 + a =180, es decir: a1 – a2 + a =0, o sea: a =a2 – a1
Conocido el ángulo a, y la longitud L del arco de meridiano entre ambos puntos de colocación de las estacas, será posible, mediante una sencilla regla de tres, encontrar la longitud total, X, de la circunferencia del planeta:
y, de aquí, el radio medio de la Tierra:
Si una de las dos estacas, en un determinado momento diera sobre la línea meridiana sombra nula, es decir, si en una de las estacas fuera cero el ángulo que forma la dirección de los rayos solares con la estaca, o, dicho de otra manera, si en uno de los dos lugares los rayos solares inciden perpendicularmente, entonces, se tendría que: a1 = 0, por lo cual a = a2 – 0 = a2, es decir, el ángulo, a, que corresponde al arco de meridiano terrestre comprendido entre ambas posiciones de las estacas, es, precisamente el ángulo, a2, que formarían los rayos solares con la segunda estaca sobre la línea meridiana.
Este último hecho fue lo que utilizó Eratóstenes para hacer su medición.
Eratóstenes, que estaba en Alejandría, recordó que en un cierto día del año, en el solsticio de verano, los rayos solares caían verticalmente en la ciudad de Siena, situada en el mismo meridiano que Alejandría, pues recordaba que el sol se reflejaba en lo mas profundo de los pozos, a la hora del mediodía. Entonces, pensó que si media ese día en la ciudad de Alejandría, a la misma hora, el ángulo, a2, que los rayos solares formaban con la vertical, midiendo la sombra que sobre la línea meridiana formaba la estaca, conocería el ángulo del arco de meridiano entre Alejandría y Siena.
Eratóstenes midió la sombra sobre la línea meridiana producida por una estaca vertical en Alejandría, y conociendo la longitud de la estaca halló ese ángulo a la hora antedicha: resultó que el ángulo era de 7 grados (a2 = 7º). Ya sabia el ángulo del arco de meridiano entre Alejandría y Siena. Ahora faltaba conocer la distancia, a lo largo del meridiano, entre ambas ciudades, es decir, la longitud del arco L. Para ello Eratóstenes pagó a un hombre que hizo, a pié, tal medición. Eran, usando la medida usual en la época y en la zona, unos 4900 estadios, que equivaldría hoy ( a unos 6’125 estadios por kilómetro) a unos 800 kms.
En esta segunda entrada queremos mostrar el increible mundo de la perspectiva y como con esta podemos engañar a nuestra propia vista e incluso crear fuertes quebraderos de cabeza.
Una de las figuras mas conocidas es el Triángulo de Penrose
El triángulo de Penrose, es un objeto imposible que fue creado en 1934 por el artista sueco Oscar Reutersvärd. Posteriormente fue redescubierto de forma independiente por el físico Roger Penrose, en la década de 1950, quien lo hizo popular, describiéndolo como "imposibilidad en su más pura forma". Aparece de forma destacada en las obras del artista M. C. Escher, hasta el punto que fue parcialmente inspirado por sus primeras imágenes de objetos imposibles. El término puede referirse tanto al objeto imposible como a su representación bidimensional.
Este objeto imposible aparenta ser un objeto sólido, formado por tres tramos rectos de sección cuadrada, que se encuentran unidos formando ángulos rectos en los extremos del triángulo que conforman. Esta combinación de propiedades no puede ser satisfecha por ninguna figura tridimensional en un espacio euclídeo ordinario.
Otra de ellas es el tridente imposible, popularmente conocido como " El tenedor del diablo"
En esta figura imposible se explicitan las deficiencias de la proyección plana y el dibujo de dos maneras: por arriba vemos un arco cuadrado mientras que por debajo vemos tres columnas de sección circular, de modo que pasamos de dos a tres elementos al tiempo que cambiamos de figura, del cuadrado al círculo. Hay algo más que la caracteriza: no se puede colorear
Falsa Perspectiva
No hay mejor ejemplo de la ambigüedad de la proyección plana de escenas tridimensionales que este grabado de Hogarth, destinado a la página de títulos de un tratado de perspectiva.
Se dice que los múltiples errores que aparecen en el grabado fueron cometidos por un noble aficionado al que Hogarth quería ridiculizar. En cualquier caso, la intención satírica del autor es evidente.
Gombrich señala en Art & Illusion, p.206, que se suele ver el grabado como una imagen imposible, y pocas veces como la representación de un mundo imposible en el que las leyes físicas actúan de otra manera.
Ajedrez imposible
Es sorprendente cómo se resiste el cerebro a asumir la imposibilidad de este dibujo de uno de los maestros de lo imposible: el suizo Sandro del Prete.
La escalera imposible
A continuación, observa atentamente este mundo imposible de Escher. Se trata de una escalera en la que se puede subir y bajar sin que por ello varíe la altura. Si sigues de cerca a los monjes, no tendrás la menor duda de estar ascendiendo. Sin embargo, al dar una vuelta completa, ¡te encontrarás de nuevo en el mismo punto de partida! Se consigue esta idea de ascenso infinito porque la escalera está colocada horizontalmente, mientras que los demás detalles avanzan en forma de espiral.
Para terminar incluimos un divertido video que muestra la paradoja de la escalera imposible:
Muy buenas , aprovechamos esta primera entrada para presentarnos e inaugurar este nuestro blog. En esta primera entrada y a razón del nombre del blog vamos a hablar de la aportación a la geometría de Leonhard Paul Euler, importante físico y matemático suízo del siglo XVIII.
En 1736, Euler resolvió el problema conocido como problema de los puentes de Königsberg. La ciudad de Königsberg, en Prusia Oriental (actualmente Kaliningrado, en Rusia), estaba localizada en el río Pregel, e incluía dos grandes islas que estaban conectadas entre ellas y con las dos riberas del río mediante siete puentes. El problema consistía en decidir si era posible seguir un camino que cruzase todos los puentes una sola vez y que finalizase llegando al punto de partida. No lo hay, y Euler logró probarlo matemáticamente demostrando que no existía un ciclo euleriano debido a que el número de puentes en más de dos bloques era impar.
A esta solución se la considera el primer teorema de teoría de grafos y de grafos planares. Euler también introdujo el concepto conocido como característica de Euler del espacio, y una fórmula que relacionaba el número de lados, vértices y caras de un polígono convexo con esta constante.
El teorema de poliedros de Euler, que básicamente consiste en buscar una relación entre número de caras, aristas y vértices en los poliedros. Utilizó esta idea para demostrar que no existían más poliedros regulares que los sólidos platónicos conocidos hasta entonces. El estudio y la generalización de esta fórmula, especialmente por Cauchy y L'Huillier, supuso el origen de la topología.
Dentro del campo de la geometría analítica descubrió además que tres de los puntos notables de un triángulo —baricentro, ortocentro y circuncentro— podían obedecer a una misma ecuación, es decir, a una misma recta. A la recta que contiene el baricentro, ortocentro y circuncentro se le denomina «Recta de Euler» en su honor.
